On dispose de 12 poids et d’une balance mécanique avec 2 plateaux. Il y a 11 poids identiques et 1 poids différent des autres. Comment peut-on trouver le poids différent en effectuant seulement 3 pesées ?
On qualifie les poids à l’aide trois mots :
– normal : il s’agit d’un poids identique aux 10 autres.
– anormal : il s’agit du seul poids différent des 11 autres.
– inconnu : on ne sait pas si ce poids est normal ou anormal.
On appelle pesée classique une pesée où le nombre de poids posés sur chacun des plateaux est identique. On peut sentir par intuition qu’il vaut mieux ne faire que des pesées classiques dans ce problème car sinon on aura du mal à dégager de l’information.
Tout d’abord deux remarques préliminaires :
(R1) : Si l’on dispose de 1 poids normal et de 2 poids inconnus avec le poids anormal parmi eux alors on peut trouver le poids anormal en 1 pesée.
Preuve : En effet on place un poids normal sur un plateau et l’un des poids inconnus sur l’autre plateau.
(R2) : Si l’on dispose de 2 poids normaux et de 4 poids inconnus avec le poids anormal parmi eux alors on peut trouver le poids anormal en 2 pesées.
Preuve : Pour la première pesée on place deux poids normaux sur un plateau et deux poids inconnus sur l’autre plateau. Equilibre ou pas on se retrouvera avec 2 poids inconnus et 4 poids normaux à l’issue de cette pesée et on pourra conclure avec (R1).
Le principe fondamental qui est la clé de l’énigme est le suivant :
(P) : Si dans deux pesées classiques un poids se retrouve une fois en haut et une fois en bas alors c’est qu’il s’agit d’un poids normal.
Preuve : On démontre la contraposée. Si ce poids était anormal alors quelque soit les deux pesées classiques on peut les simplifier en enlevant le maximum de poids normaux sur les plateaux en quantité identique de chaque côté pour se retrouver avec la pesée la plus simple possible : un poids anormal en face d’un poids normal. Par simplification, que le poids anormal soit plus lourd ou plus léger, les deux pesées classiques doivent le placer toutes les deux en haut ou toutes les deux en bas.
Présentons à présent la solution :
On part avec 12 poids inconnus.
1) La première pesée consiste à comparer 4 poids inconnus avec 4 poids inconnus, on laisse 4 poids de côté.
Si la balance indique l’équilibre, alors on se retrouve avec 8 poids normaux et 4 poids inconnus. Il reste 2 pesées et en vertu de (R2) on peut conclure. On va donc supposer qu’il n’y a pas l’équilibre. Notons les boules par un « H » si elles se trouvent en haut et par un « B » si elles se trouvent en bas. La configuration de la pesée est donc (HHHH en haut et BBBB en bas). Nous avons 8 poids inconnus et 4 poids normaux. L’idée est d’utiliser le principe (P) pour préparer la deuxième pesée.
2) La seconde pesée consiste à comparer 3 poids inconnus (H,B,H) avec 3 poids inconnus (H,B,H), on laisse ainsi de côté 4 poids normaux et 2 poids inconnus.
Si la balance indique l’équilibre, alors on se retrouve avec 10 poids normaux et 2 poids inconnus. Il reste 1 pesée et en vertu de (R1) on peut conclure. On va donc supposer qu’il n’y a pas l’équilibre. La configuration de la pesée est forcement de la forme : (HBH en haut et HBH en bas). On utilise le principe (P) pour obtenir 3 poids inconnus (H-H,H-H,B-B). Les 9 autres poids sont donc normaux. La notation H-H signifie que ce poids inconnu s’est retrouvé deux fois en haut tandis que la notation B-B signifie que ce poids inconnu s’est retrouvé deux fois en bas.
3) La troisième pesée consiste à comparer 1 poids inconnu H-H avec 1 poids inconnu H-H, on laisse de côté le poids inconnu B-B et les 9 poids normaux.
Si la balance est à l’équilibre, alors le poids anormal est le poids B-B laissé de côté. On suppose à présent qu’il n’y a pas équilibre. La configuration de la pesée est forcément de la forme : (H-H en haut et H-H en bas). On utilise une dernière fois le principe (P) pour conclure. Le poids inconnu H-H qui s’est retrouvé en bas est en vertu du principe (P) un poids normal, il en résulte que le poids anormal est le poids inconnu H-H qui s’est retrouvé en haut !