Le théorème de Pythagore

Le théorème de Pythagore affirme que dans un triangle $ABC$ rectangle en $A$ on a l’égalité suivante : $BC^2 = AB^2+AC^2$ . Cette égalité permet de lier les 3 longueurs d’un triangle rectangle et en particulier de déterminer l’une des longueurs à partir des deux autres. Selon certains récits antiques, la découverte de ce théorème il y a plus de 2500 ans est attribuée au mathématicien grec Pythagore et sa démonstration au mathématicien grec Euclide. Ce dernier a consigné ce théorème dans l’un de ses ouvrages sous la forme suivante :

« Aux triangles rectangles, le carré du côté qui soutient l’angle droit, est égal aux carrés des deux autres côtés. »
Eléments – Euclide

Comment peut-on démontrer ce théorème simplement ? La démonstration la plus simple repose sur des considérations d’aires. On considère un triangle $ABC$ rectangle en $A$ puis on trace des droites perpendiculaires et on reporte les longueurs pour obtenir la figure ci-dessous :

Le quadrilatère de côté $[BC]$ est clairement un carré puisque la somme des angles du triangle $ABC$ vaut $180^\circ$ . Calculons à présent l’aire du carré de côté $[AD]$ de deux façons différentes en utilisant uniquement les longueurs du triangle $ABC$ , on obtient d’une part :

$\displaystyle AD^2 = (AB+AC)^2 = (AB+AC)(AB+AC)=AB\times AB+AB\times AC+AC\times AB+AC\times AC=AB^2+AC^2+2AB\times AC$

D’autre part, l’aire du triangle $ABC$ étant égale à $AB\times AC/2$ l’aire du carré de côté $[AD]$ est aussi :

$\displaystyle 4\times AB\times AC/2+BC^2=2AB\times AC+BC^2$

Les deux façons de calculer l’aire du carré de côté $[AD]$ donnent le même résultat ainsi on a $AB^2+AC^2+2AB\times AC = 2AB\times AC+BC^2$ puis en retranchant $2AB\times AC$ aux deux membres de cette dernière égalité on obtient l’égalité de Pythagore :

$\displaystyle BC^2=AB^2+AC^2$

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