La planche dans la piscine

Si la pièce de monnaie était fabriquée dans une matière très lourde, celle-ci pourrait en théorie, faire couler complètement la planche au fond de la piscine. Dans ce cas le niveau d’eau de la piscine augmenterait de manière proportionnelle au volume de la planche au lieu d’augmenter de manière proportionnelle au volume de la pièce de monnaie. Ce cas particulier nous suggère qu’il est préférable de jeter la pièce de monnaie sur la planche. Comment peut-on montrer cela rigoureusement ?

Calculons la hauteur supplémentaire du niveau d’eau de la piscine lorsque l’on jette la pièce dans l’eau. Si on note la surface de l’eau et le volume de la pièce alors on a (puisque est à priori faible par rapport à la hauteur de la piscine on peut supposer que près du niveau de l’eau les parois de la piscine sont perpendiculaires à la surface de l’eau). Calculons à présent la hauteur supplémentaire du niveau d’eau de la piscine lorsque l’on jette la pièce sur la planche. On a cette fois où désigne le volume supplémentaire de la planche sous le niveau de l’eau. D’après le principe d’Archimède, est aussi le volume d’eau déplacé par la pièce et la masse de ce volume d’eau déplacé est égale à la masse de la pièce donc on a avec la masse de la pièce et la masse volumique de l’eau (égale à 1kg par litre). On obtient et il reste à comparer et . Comme la pièce de monnaie a une masse volumique supérieure à celle de l’eau il vient donc puis ce qui nous permet de conclure que et qu’il est préférable de jeter la pièce de monnaie sur la planche.