Le son et l’harmonie musicale

Une approche simple pour produire de la musique est de faire vibrer une corde. Le son de la corde entière peut nous donner une note de référence et on pourra convenir d’appeler cette note « Do ». Comment ce son est-il produit ? La corde en vibrant bouscule les molécules d’air et modifie la pression dans l’air environnant. Cette pression liée à la densité des molécules est une fonction périodique de l’espace et du temps : une onde sonore. Vous pouvez observer ci-dessous la simulation numérique d’une onde et modifier ses différents paramètres (longueur d’onde, amplitude, période) :

Nous allons convenir de noter la fréquence de la note « Do » générée par notre corde en hertz. Si l’on pince la corde à sa moitié et que l’on fait à nouveau vibrer le morceau de corde restant alors le nouveau son produit sera plus aigu de fréquence . On convient d’appeler encore cette note un « Do » mais on précise que l’on se trouve sur une octave supérieure. L’octave est donc un couple de deux notes où l’une des notes a une fréquence égale au double de la première.

Que se passe-t-il à présent si l’on pince la corde au deux tiers ? Le son obtenu est plus aigu de fréquence : on forme ainsi une nouvelle note de musique que l’on appellera « Sol ». Un couple de deux notes où l’une des notes a une fréquence 50% plus élevée que l’autre est appelé une quinte. Si l’on cherche à former par ce même procédé une autre note de musique en multipliant encore la fréquence par on obtiendra cette fois un son de fréquence qui se trouve dans l’octave supérieure puisque . On choisit alors de diviser cette dernière fréquence par pour rester dans la première octave et la nouvelle note définie sera finalement celle de fréquence , cette dernière note sera appelée « Ré ».

Le mathématicien Pythagore, auteur d’un théorème bien connu, a voulu continuer le procédé décrit dans le paragraphe précédent : multiplier les fréquences par 3/2 mais en ne conservant que les notes crées dans la même octave. Plus précisément, si une note sort de l’octave alors on divise sa fréquence par 2 pour considérer la même note sans changer d’octave. Pour modéliser le procédé de Pythagore, on peut considérer la suite définie par récurrence en posant et (où désigne la partie entière de tout nombre ). Cette suite nous donne tous les rapports entre les notes constituant une octave selon les disciples de Pythagore, on peut visualiser ces notes sur un clavier de piano :

Plus précisément, les valeurs de à une fois rangées dans l’ordre croissant sont les rapports entre les notes : Do, Ré, Mi, Fa, Sol, La, Si. De plus, si l’on continue de ranger les valeurs suivantes dans l’ordre croissant de à alors on obtient ensuite les bémols et les dièses du clavier qui correspondent aux touches noires. Vous pouvez observer dans l’illustration dynamique ci-dessous la construction de cette suite de rapports que l’on appelle la gamme pythagoricienne :

La simulation numérique de la gamme pythagoricienne montre que l’on obtient des points à peu près régulièrement espacés mais la valeur de est assez proche de la valeur initiale : on décide ainsi de s’arrêter là dans la construction de notre gamme de notes. Le défaut de la construction des notes par la gamme pythagoricienne est qu’il n’y a pas de cycle, c’est pour cette raison qu’elle n’est plus utilisée de nos jours. Pour accorder correctement un piano on utilise plutôt la gamme à tempérament égal que vous pouvez visualiser dans la simulation numérique précédente. Sur la base des travaux de Pythagore on souhaite toujours diviser l’octave en 12 parties mais en cherchant cette fois à boucler la construction sur un « Do » : la suite géométrique de raison est alors parfaitement adaptée. Cette nouvelle gamme musicale qui repose sur le nombre irrationnel était bien sûr difficile à imaginer et à utiliser à l’époque de Pythagore !