L’intégrale d’une fonction continue

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La représentation graphique d’une fonction continue f sur un intervalle est « en un seul morceau ». Lorsque l’intervalle est fermé c’est à dire un segment de la forme [a;b] on peut alors considérer l’aire comprise entre le graphe de f et l’axe des abscises. Cette aire n’est pas infinie mais un nombre d’unités d’aire que l’on note \int_a^b f et que l’on appelle l’intégrale de f sur [a;b]. Pour déterminer cette aire la méthode classique est de la découper en un certain nombre n de rectangles, la précision du résultat augmente alors à mesure que le nombre n de rectangles augmente comme dans l’illustration dynamique ci-dessous :

L’illustration dynamique précédente permet d’estimer \int_a^b f lorsque f est positive sur [a;b]. Il faut savoir en effet que dans le calcul d’une intégrale toutes les aires qui se trouvent au dessus de l’axe des abscisses doivent être comptées positivement tandis que toutes les aires en dessous de l’axe des abscisses doivent être comptées négativement. Dans le cas général avec une fonction f qui change de signe sur [a;b] il convient donc de faire un bilan global des aires en respectant ces règles. Si la fonction saisie dans l’illustration dynamique est positive alors on obtient une approximation par excès de \int_a^b f en considérant l’aire verte et une approximation par défaut en considérant l’aire bleue, de plus ces estimations sont de plus en plus précises lorsque la valeur de n augmente. En utilisant par exemple l’approximation de l’aire verte on peut énoncer le théorème ci-dessous :


Méthode des rectangles : Soit f une fonction continue sur un segment [a;b].
\displaystyle \int_a^b f= \lim_{n\to +\infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{(b-a)}{n}f\left(a+k\frac{(b-a)}{n}\right)

Si l’on décide d’utiliser l’approximation de l’aire bleue alors le théorème peut aussi s’écrire en faisant varier k dans la somme de 0 à n-1 . Dans le cas particulier où a=0 et b=1 on obtient le corollaire plus simple ci-dessous :


Corollaire de la méthode des rectangles : Soit f une fonction continue sur [0;1].
\displaystyle \int_0^1 f= \lim_{n\to +\infty} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} f\left(\frac{k}{n}\right)

A priori déterminer de telles limites n’est pas facile mais heureusement nous disposons du théorème fondamental de l’analyse qui nous dit que la fonction x\mapsto \int_a^x f est l’unique primitive de f qui s’annule en a. On rappelle que toute fonction dont la dérivée est f est appelée une primitive de f. En pratique, pour calculer des intégrales, le corollaire de ce dernier théorème présenté ci-dessous est particulièrement utile :


Corollaire du théorème fondamental de l’analyse : Soit f une fonction continue sur un segment [a;b] et F une primitive de f.
\displaystyle \int_a^b f= F(b)-F(a)

Utilisons ces connaissances pour calculer par exemple l’intégrale de la fonction f :x\mapsto x^2 sur [0;1]. Il est facile de vérifier que la fonction F:x\mapsto x^3/3 est une primitive de f donc on a \int_0^1 f = \lim_{n\to +\infty} \sum_{k=1}^{n} k^2/n^3=F(1)-F(0)=1^3/3-0^3/3=1/3.

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