Les fractions continues - L'univers des mathématiques

Commençons par choisir un nombre entier $x_0\in\mathbb{N}^*$ et réalisons les opérations suivantes :

– étape 1 : on ajoute un entier $x_1\in\mathbb{N}^*$ à l’inverse de $x_0$ .
– étape 2 : on ajoute un entier $x_2\in\mathbb{N}^*$ à l’inverse du résultat précédent.
– étape 3 : on ajoute un entier $x_3\in\mathbb{N}^*$ à l’inverse du résultat précédent.

Le résultat obtenu après ces trois étapes de calculs est une fraction qui est notée $[x_3,x_2,x_1,x_0]$ .

Calculons par exemple avec les notations précédentes la fraction $[1,2,3,4]$ :

$\displaystyle [1,2,3,4]=1+\frac{1}{2+\frac{1}{3+\frac{1}{4}}}=1+\frac{1}{2+\frac{4}{13}} =1+\frac{13}{30}=\frac{43}{30}$

Les calculs présentés précédemment comportent 3 étapes mais il est possible d’utiliser plus d’étapes. On peut par exemple essayer de calculer la fraction $[1,2,3,4,5]$ ce qui nécessite 4 étapes. Plus généralement, si on considère une suite d’entiers strictement positifs $(a_k)_{k\in\mathbb{N}}$ alors on peut poser $\forall n\in\mathbb{N},F_n=[a_0,a_1,a_2,\dots,a_{n}]$ et on sait que $F_n$ est une fraction à calculer en $n$ étapes. On obtient ainsi une suite de fractions $(F_n)_{n\in\mathbb{N}}$ qui est appelée la suite des réduites associée à $(a_k)_{k\in\mathbb{N}}$ (la suite $(a_k)_{k\in\mathbb{N}}$ est ce que l’on appelle un développement en fraction continue).

On peut montrer dans ce contexte que la suite des réduites $(F_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est toujours convergente et sa limite notée $[a_0,a_1,a_2,a_3,\dots]$ est appelée une fraction continue. Certaines fractions continues ont des expressions simples, par exemple $[1,1,1,1,\dots]$ est égal au nombre d’or et $[1,2,2,2,\dots]$ est égal à $\sqrt{2}$ . Il y a plus étonnant : tout nombre irrationnel positif est en fait une fraction continue ! La preuve est dans le fichier joint ci-dessous.

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