Dans l’addition ci-dessous chaque lettre correspond à un chiffre (de 0 à 9). Comment peut-on remplacer ces lettres par des chiffres pour que l’addition soit exacte ?
Indice
Pour remplacer 10 lettres par 10 chiffres, il y a de base 10! = 3 628 800 possibilités, toutefois pour que l’addition proposée soit exacte on peut montrer avec un programme informatique qu’il existe seulement 32 solutions. Comment peut-on trouver à la main certaines de ces solutions ? On peut remarquer déjà que l’addition de deux chiffres peut générer seulement des retenues de 1. L’addition des chiffres représentés par N et O (avec une éventuelle retenue) a pour résultat un nombre à deux chiffres qui est au plus 9+8+1=18 donc V=1. On peut ensuite traduire l’addition donnée par l’équation suivante :
Les nombres F+E-T et U+Z-G valent au plus 9+8-0=17 donc le nombre 10(U+Z-G)+F+E-T vaut au plus 170+17=187 puis le nombre 100E+10(U+Z-G)+F+E-T vaut au plus 1087. Pour obtenir un total de 10 000 il est ainsi nécessaire que N+O-I=9. De plus le nombre E ne peut pas être strictement inférieur à 9 sinon le total serait au plus de 9987 et on peut conclure que E=9.
Solution
On a vu que (V;E)=(1;9) et que N+O-I=9. Pour aller plus loin, on peut faire des hypothèses supplémentaires afin d’obtenir un total de 10 000. Par exemple on peut supposer que U+Z-G=9 et que F+E-T=10 pour obtenir 9000 + 900 + 90 + 10 = 10000. On remarque que l’équation F+E-T=10 est simplement équivalente à F-T=1 compte tenu du fait que E=9. On recherche ainsi 8 chiffres différents de 1 et 9 tels que N+O-I=U+Z-G=9 et F-T=1. Par exemple les calculs 8+4-3=7+2-0=9 et 6-5=1 conviennent et donnent une solution possible à notre problème : 7986 + 2749 = 10735. On peut bien sûr choisir d’autres calculs comme 5+4-0=8+3-2=9 et 7-6=1 afin d’obtenir d’autres solutions : 5987 + 4539 = 10526. Un programme Python permet d’obtenir toutes les solutions possibles.