La dérivation discrète - L'univers des mathématiques

La dérivée discrète d’une suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est la suite $(v_n)_{n\in\mathbb{N}}$ définie telle que $\forall n\in\mathbb{N},v_n=u_{n+1}-u_n$ et on note alors $\Delta u=v$ pour indiquer que la dérivée discrète de $u$ est la suite $v$ . Par exemple la dérivée discrète de la suite $0-1-2-3-4-\cdots$ est la suite $1-1-1-1-1-\cdots$ . On peut montrer de plus que pour toute suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ il existe une suite $(w_n)_{n\in\mathbb{N}}$ telle que $\Delta w= u$ et on dit alors que $w$ est une primitive discrète de $u$ . Par exemple une primitive discrète de la suite $0-1-2-3-4-\cdots$ peut être la suite $1-1-2-4-7-\cdots$ ou encore la suite $2-2-3-5-8-\cdots$ (il existe une infinité de primitives discrètes possibles).

Les primitives discrètes peuvent être intéressantes pour calculer des sommes car on a un théorème analogue au théorème fondamental de l’analyse : si $U$ est une primitive discrète d’une suite $u$ alors on a $\forall n\in\mathbb{N},\sum_{k=0}^n u_k=[U_k]_0^{n+1}= U_{n+1}-U_0$ .

De plus posons $\forall n\in\mathbb{N},\forall k\in\mathbb{Z},n^{\underline{k}}=n!/(n-k)!$ si $k\leq n$ et $n^{\underline{k}}=0$ sinon. Lorsque $k\neq -1$ on peut alors vérifier que la suite $(n^{\underline{k+1}}/(k+1))_{n\in\mathbb{N}}$ est une primitive discrète de la suite $(n^{\underline{k}})_{n\in\mathbb{N}}$ . Cette dernière propriété combinée au théorème précédent va nous permettre de calculer facilement des sommes.

Par exemple on a les identités $X^{\underline{1}}=X$ et $X^{\underline{2}}=X(X-1)$ donc $X^2 =X^{\underline{2}}+X^{\underline{1}}$ ainsi on peut en déduire que pour tout $n\in\mathbb{N}$ :

$\displaystyle \sum_{k=0}^n k^2=\sum_{k=0}^n k^{\underline{2}}+k^{\underline{1}}=\sum_{k=0}^n k^{\underline{2}}+\sum_{k=0}^n k^{\underline{1}}=\left[\dfrac{k^{\underline{3}}}{3}\right]_0^{n+1}+\left[\dfrac{k^{\underline{2}}}{2}\right]_0^{n+1}=\left[\dfrac{k(k-1)(k-2)}{3}\right]_0^{n+1}+\left[\dfrac{k(k-1)}{2}\right]_0^{n+1}=\dfrac{(n+1)n(n-1)}{3}+\dfrac{n(n+1)}{2}=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

Plus de détails sur la dérivation discrète et ses applications sont donnés dans le fichier joint ci-dessous.

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