Les critères de divisibilité

Considérons un nombre entier $n$ non nul, lorsque la différence entre deux nombres entiers $a$ et $b$ est divisible par $n$ on note $a\equiv b [n]$ ou encore $\overline{a}=\overline{b}$ et on dit que $a$ est congru à $b$ modulo $n$ . La relation de congruence a la propriété importante d’être compatible avec l’addition c’est à dire que pour tous nombres entiers $\alpha$ et $\beta$ tels que $\overline{a}=\overline{\alpha}$ et $\overline{b}=\overline{\beta}$ on a $\overline{a+b}=\overline{\alpha+\beta}$ . En effet s’il existe des nombres entiers $k$ et $k'$ tels que $a =nk +\alpha$ et $b= nk'+\beta$ alors on a $a+b=n(k+k') + \alpha+\beta$ donc la différence entre $a+b$ et $\alpha+\beta$ est bien divisible par $n$ . On remarque de plus que $a \times b = (nk+\alpha)(nk'+\beta)=n(nkk'+k'\alpha+k\beta)+\alpha\beta$ donc on a $\overline{a\times b}=\overline{\alpha\times\beta}$ ainsi la relation de congruence est aussi compatible avec la multiplication.

La compatibilité de la relation de congruence avec l’addition et la multiplication permet d’étudier des problèmes de divisibilité. Démontrons par exemple que $3\times 42 + 35=161$ est divisible par $7$ , comme on a $\overline{42}=\overline{0}$ et $\overline{35}=\overline{0}$ on déduit que $\overline{3\times 42+35}=\overline{3\times 0+0}=\overline{0}$ ce qui prouve que $161$ est divisible par $7$ . On peut aller même plus loin et démontrer des critères de divisibilité : il s’agit de règles qui permettent de déterminer rapidement si un nombre est divisible par un autre. Considérons un nombre entier $N$ dont les chiffres sont notés $(a_k)_{0\leq k\leq p}$ de sorte que $N=a_0+10a_1+10^2a_2+\cdots+10^pa_p=\sum_{k=0}^p a_k10^k$ et examinons ci-dessous les principaux critères de divisibilité à connaître.

Critère de divisibilité par 2 : Un nombre est divisible par 2 si et seulement si son chiffre des unités est dans $\{ 0 ; 2 ; 4 ; 6 ; 8\}$ .

Preuve : On remarque que pour tout $k\geq 1$ on a $\overline{10^k}=\overline{0}$ donc $\overline{N}=\overline{a_0+\sum_{k=1}^p a_k\times 0}=\overline{a_0}$ . Le nombre $N$ est donc divisible par 2 si et seulement si son chiffre des unités est divisible par 2.

Critère de divisibilité par 3 : Un nombre est divisible par 3 si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par 3.

Preuve : On constate que pour tout $k\geq 0$ on a $\overline{10^k}=\overline{1}$ donc $\overline{N}=\overline{\sum_{k=0}^p a_k\times 1}=\overline{\sum_{k=0}^p a_k}$ .

Critère de divisibilité par 4 : Un nombre est divisible par 4 si et seulement si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible par 4.

Preuve : Puisque pour tout $k\geq 2$ on a $\overline{10^k}=\overline{0}$ il vient $\overline{N}=\overline{a_0+10a_1+\sum_{k=2}^p a_k\times 0}=\overline{a_0+10a_1}$ .

Critère de divisibilité par 5 : Un nombre est divisible par 5 si et seulement si son chiffre des unités est dans $\{ 0 ; 5\}$ .

Preuve : Comme pour tout $k\geq 1$ on a $\overline{10^k}=\overline{0}$ donc $\overline{N}=\overline{a_0+\sum_{k=1}^p a_k\times 0}=\overline{a_0}$ . Le nombre $N$ est donc divisible par 5 si et seulement si son chiffre des unités est divisible par 5.

Critère de divisibilité par 6 : Un nombre est divisible par 6 si et seulement si il est divisible par 2 et divisible par 3.

Preuve : C’est une conséquence directe du théorème de Gauss vu que 2 est premier avec 3.

Critère de divisibilité par 7 : Un nombre est divisible par 7 si et seulement si la différence entre son nombre de dizaines et le double de son chiffre des unités est divisible par 7.

Preuve : Si on note $d$ le nombre de dizaines dans $N$ on a alors $N=10d+a_0$ puis comme $\overline{50}=\overline{1}$ et $\overline{5}=\overline{-2}$ on déduit que $\overline{5N}=\overline{50d+5a_0}=\overline{d-2a_0}$ ce qui prouve que $5N$ est divisible par 7 si et seulement si $d-2a_0$ est divisible par 7. On peut conclure car le théorème de Gauss permet d’affirmer que $N$ est divisible par $7$ si et seulement si $5N$ est divisible par 7 vu que 5 est premier avec 7.

Critère de divisibilité par 8 : Un nombre est divisible par 8 si et seulement si le nombre formé par ses trois derniers chiffres est divisible par 8.

Preuve : Puisque pour tout $k\geq 3$ on a $\overline{10^k}=\overline{0}$ il vient $\overline{N}=\overline{a_0+10a_1+100a_2+\sum_{k=3}^p a_k\times 0}=\overline{a_0+10a_1+100a_2}$ .

Critère de divisibilité par 9 : Un nombre est divisible par 9 si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par 9.

Preuve : On remarque que pour tout $k\geq 0$ on a $\overline{10^k}=\overline{1}$ donc $\overline{N}=\overline{\sum_{k=0}^p a_k\times 1}=\overline{\sum_{k=0}^p a_k}$ .

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