Les équations de degré 3 - L'univers des mathématiques

Une équation de degré 3 est une équation $(E)$ de la forme :

$\displaystyle z^3+az^2+bz+c=0$

On suppose ici que les nombres $(a,b,c)$ sont réels. Comment peut-on résoudre ce type d’équation ? La première étape est de supprimer le terme de degré 2 dans l’équation $(E)$ . Pour cela on note $x=z+a/3$ et on remplace donc la variable $z$ par $x-a/3$ ce qui nous donne l’équation $(C)$ écrite sous la forme de Cardan :

$\displaystyle x^3=2p+3qx$

Les nombres $(p,q)$ dépendent de $(a,b,c)$ et sont réels. Le discriminant de l’équation $(C)$ est $\Delta=p^2-q^3$ et lorsque $\Delta \geq 0$ on peut noter $\delta$ une racine carrée réelle de $\Delta$ puis on a la formule suivante découvert par le mathématicien Jérôme Cardan au 16-ème sciècle qui permet de trouver une solution particulière $\gamma$ de l’équation $(C)$ :

$\displaystyle \gamma=\sqrt[3]{p+\delta}+\sqrt[3]{p-\delta}$

Considérons par exemple l’équation $(E)$ :

$\displaystyle z^3+3z^2-15z-52=0$

Si on pose $x=z+3/3=z+1$ alors en remplaçant $z$ par $x-1$ on obtient la forme de Cardan $(C)$ :

$\displaystyle (x-1)^3+3(x-1)^2-15(x-1)-52=0\iff x^3=35+18x$

On a $(p,q)=(35/2,6)$ donc le discriminant de $(C)$ est $\Delta=(35/2)^2-6^3=361/4$ et sa racine carrée est $\delta=19/2$ . D’après la formule de Cardan une solution particulière de $(C)$ est $\gamma=\sqrt[3]{35/2+19/2}+\sqrt[3]{35/2-19/2}=\sqrt[3]{27}+\sqrt[3]{8}=3+2=5$ .

Lorsque l’on connaît une solution particulière $\gamma$ d’une équation de degré 3 alors la résolution devient facile car on peut factoriser l’équation $(C)$ par $x-\gamma$ puis étudier l’équation de degré 2 qui en résulte :

$\displaystyle x^3-18x-35=(x-5)(x^2+5x+7)$

Dans l’exemple étudié, le discriminant de l’équation du second degré $x^2+5x+7=0$ est strictement négatif ainsi l’équation $(C)$ admet une unique solution qui est 5. Il en résulte que l’équation $(E)$ admet aussi une unique solution qui est $5-1=4$ .

Comment peut-on résoudre l’équation de degré 3 lorsque son discriminant est négatif ? C’est la question que se pose Raphaël Bombelli un autre mathématicien contemporain de Jérôme Cardan. C’est dans cet objectif qu’il invente les nombres complexes et en particulier le nombre imaginaire $i$ dont le carré vaut $-1$ .

Prenons pour second exemple l’équation $(C')$ :

$\displaystyle x^3=176+60x$

On a $(p,q)=(88,20)$ donc le discriminant de $(C')$ est $\Delta=88^2-20^3=-256$ et l’une de ses racines carrées complexes est $\delta=16i$ . D’après la formule de Cardan une solution particulière de $(C')$ est $\gamma=u+\overline{u}$ avec $u$ une racine cubique complexe de $88+16i$ . Une étude plus approfondie des nombres complexes permet de développer des outils pour calculer une racine cubique complexe, dans notre cas $u=-2-4i$ est une racine cubique complexe de $88+16i$ . On peut d’ailleurs vérifier par le calcul que $(-2-4i)^3=88+16i$ ainsi la formule de Cardan nous donne :

$\displaystyle \gamma=(-2-4i)+(-2+4i)=-4$

On termine cette fois encore la résolution de $(C')$ en factorisant et en étudiant l’équation du second degré qui en résulte :

$\displaystyle x^3-60x-176=(x+4)(x^2-4x-44)=(x+4)(x-2+4\sqrt{3})(x-2-4\sqrt{3})$

Nous pouvons maintenant énoncer le théorème ci-dessous qui résume comment résoudre une équation de degré 3 :

Résolution d’une équation de degré 3 :
Soit $p$ et $q$ deux nombres réels, on considère l’équation $x^3=2p+3qx$ .
Le nombre $\Delta=p^2-q^3$ est appelé le discriminant de l’équation et on note $\delta=\sqrt{|\Delta|}$ .
Si $\Delta$ >0 alors l’équation admet 1 solution réelle et si $\Delta =0$ alors l’équation admet 2 solutions réelles, dans ces deux cas une solution est : $\displaystyle \sqrt[3]{p+\delta}+\sqrt[3]{p-\delta}$
Si $\Delta$ <0 alors l’équation admet 3 solutions réelles et une solution est $u+\overline{u}$ où $u$ est une racine cubique complexe de $p+i\delta$ .

La preuve de ce théorème et davantage de détails sont proposés dans le fichier joint ci-dessous.

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